Investigadores da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto (FCUP) conseguiram resolver um problema aberto de matemática — a conjetura 1-3-5, da teoria dos números.

Esta conjetura foi descoberta em 2016, pelo matemático chinês Zhi-Wei Sun, com base no teorema de Lagrange. Ou melhor, de Joseph-Louis Lagrange, matemático italiano naturalizado francês que, conseguiu, em 1770, um argumento que mostra que há várias maneiras de decompor um qualquer número natural como soma de quatro quadrados.

Quase 250 anos depois, surgiu então a conjetura de Zhi-Wei Sun, que chegou mesmo a oferecer um prémio de 1350 dólares a quem conseguisse a proeza de a validar. “Diz este matemático que, entre as representações de um número natural m como soma de quatro quadrados, digamos m = a^2 + b^2 + c^2 +d^2, há sempre pelo menos uma em que a,b,c podem ser escolhidos de tal forma que a+3b+5c é também um quadrado. Por causa dos coeficientes de a,b,c, Sun chamou a esta sua conjetura, a «conjetura 1-3-5»” , explica António Machiavelo, professor do Departamento de Matemática da FCUP.

Vamos a contas. O docente da FCUP dá como exemplo o ano de 2021: “2021 = 28^2 + 16^2 + 9^2 + 30^2, com 1 x 28 + 3 x 16 + 5 x 9 = 121 = 11^2”.

Cinco anos e uma tese de doutoramento depois…

Até que o desafio chegou às mãos de Nikolaos Tsopanidis, então estudante de doutoramento – hoje doutorado – em Matemática pela FCUP. “O Professor Machiavelo deu-me um algoritmo de Legendre para decompor um número inteiro numa soma de quatro quadrados. Fê-lo para me motivar com o apelo de resolver uma conjetura”, conta o investigador.

“O problema parecia muito interessante aos meus olhos desde o início, e por algum motivo eu pensei que, usando o conhecimento que já tínhamos, poderíamos resolver completamente a conjetura”, acrescenta. E a missão foi cumprida. “Numa primeira fase demonstramos que o resultado é válido para números maiores que um certo limite”, descreve António Machiavelo, que foi o seu orientador.

Este foi o objetivo alcançado na tese de doutoramento de Nikolaos Tsopanidis. Depois, para uma segunda e última fase, ficou a “verificação computacional” da validade da conjetura para todos os números. Para este trabalho final, recentemente publicado, os investigadores contaram com a colaboração de Rogério Reis, docente de Ciência de Computadores da FCUP.

Um método que pode abrir portas a novos conhecimentos

Mas, afinal, qual a importância de mostrar conjeturas como estas? Que aplicações tem este resultado? “Trata-se de um problema em aberto, de matemática pura, tão pura como a matemática pode ser, que ficou resolvido”, descreve Nikolaos.

“É importante, pois mostra que qualquer jovem investigador com alguma persistência e um pouco de obsessão pode resolver um problema em aberto de matemática. Se eu consigo, qualquer um consegue”, frisa.

Já para António Machiavelo, este pode ser um importante passo para a matemática: “Nesta área, é mais importante o método para demonstrar o resultado do que o resultado em si. O método pode abrir portas a outros resultados, e portanto, a novos conhecimentos”, reflete.

Quanto a aplicações, “nunca se sabe”, refere. E dá o exemplo da teoria de divisores do matemático suíço Leonhard Euler, que, cerca de 228 anos depois, tem sido aplicada em protocolos que hoje garantem a segurança da grande maioria das transações bancárias feitas online.